Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, citando o critério ou resultado utilizado:
\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{n}\left(\frac{2 n-1}{n+13}\right)^{n}.

Passo 1

O enunciado nos pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\sqrt{n}\Bigl(\frac{2n-1}{n+13}\Bigr)^{n}
converge ou diverge, citando o critério utilizado. O conteúdo é testes de convergência de séries com termos gerais do tipo
a_n = \sqrt{n}\Bigl(\frac{2n-1}{n+13}\Bigr)^{n}.
Vamos usar o critério da raiz (ou de Cauchy).

Passo 2

Aplicamos o critério da raiz, calculando
L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\sqrt{n}}\;\cdot\;\lim_{n\to\infty}\frac{2n-1}{n+13}.
Observe que
\sqrt[n]{\sqrt{n}} = n^{\tfrac{1}{2n}}\longrightarrow 1 \quad\text{e}\quad \frac{2n-1}{n+13}\longrightarrow 2.
Portanto
L = 1\cdot 2 = 2.

Passo 3

Como L = 2 > 1, pelo critério da raiz a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo critério da raiz de Cauchy, pois o limite L=2 excede 1.

Exercícios relacionados