Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, citando o critério ou resultado utilizado:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(2 n^{2}+1\right) n \sin \left(\frac{1}{n}\right)}{n^{2}+1}.

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} a_n \quad\text{com}\quad a_n = \frac{(2n^2+1)\,n\,\sin\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)}{n^2+1},
e pede para decidir convergência ou divergência. O critério mais direto aqui é o teste do termo geral, que exige \lim_{n\to\infty}a_n=0 para que a série possa convergir.

Passo 2

Vamos calcular
\lim_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty} \frac{(2n^2+1)\,n\,\sin\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)}{n^2+1}.
Para n grande, temos as aproximações
2n^2+1\sim2n^2, \quad n^2+1\sim n^2, \quad \sin\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)\sim \tfrac{1}{n},
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a_n \sim \frac{2n^2\cdot n\cdot\frac{1}{n}}{n^2} = \frac{2n^2}{n^2} =2.

Passo 3

Como
\lim_{n\to\infty}a_n = 2 \neq 0,
o teste do termo geral nos diz que a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge pelo critério do termo geral, pois \lim_{n\to\infty}a_n=2\neq0.

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