Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, citando o critério ou resultado utilizado:
.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
é convergente ou divergente.
O conteúdo principal é séries numéricas de termos positivos e vamos usar o Critério da Integral (ou Teste da Integral) comparando a soma com a integral imprópria de uma função contínua, positiva e decrescente.
é convergente ou divergente.
O conteúdo principal é séries numéricas de termos positivos e vamos usar o Critério da Integral (ou Teste da Integral) comparando a soma com a integral imprópria de uma função contínua, positiva e decrescente.
Passo 2
Definimos a função
para
. Observamos que para
:
-
. -
é contínua e decrescente (pois cresce e cresce).
Logo, podemos aplicar o Critério da Integral: a série e a integral
convergem ou divergem juntas.
Passo 3
Montamos a integral imprópria correspondente:
Fazemos a troca de variável
, então
. Quando
vem
e, quando
,
. A integral passa a ser
Passo 4
Calculamos a integral em
:
que é finita. Pelo Critério da Integral, como a integral convergiu, a série também converge.
Resposta
A série
é convergente, por aplicação do Critério da Integral.