Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, citando o critério ou resultado utilizado:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\left(1+(\ln n)^{2}\right)}.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\bigl(1+(\ln n)^{2}\bigr)}
é convergente ou divergente.
O conteúdo principal é séries numéricas de termos positivos e vamos usar o Critério da Integral (ou Teste da Integral) comparando a soma com a integral imprópria de uma função contínua, positiva e decrescente.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = \frac{1}{x\bigl(1+(\ln x)^{2}\bigr)},
para x\ge1. Observamos que para x\ge1:
  1. f(x)>0.
  2. f é contínua e decrescente (pois \ln x cresce e 1+(\ln x)^{2} cresce).
    Logo, podemos aplicar o Critério da Integral: a série e a integral
    \displaystyle \int_{1}^{\infty}f(x)\,dx
    convergem ou divergem juntas.

Passo 3

Montamos a integral imprópria correspondente:
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x\bigl(1+(\ln x)^{2}\bigr)}\,dx.
Fazemos a troca de variável \displaystyle t = \ln x, então dt = \frac{dx}{x}. Quando x=1 vem t=0 e, quando x\to\infty, t\to\infty. A integral passa a ser
\int_{t=0}^{t=\infty} \frac{1}{1+t^{2}}\,dt.

Passo 4

Calculamos a integral em t:
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+t^{2}}\,dt = \Bigl[\arctan(t)\Bigr]_{0}^{\infty} = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2},
que é finita. Pelo Critério da Integral, como a integral convergiu, a série também converge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\bigl(1+(\ln n)^{2}\bigr)} é convergente, por aplicação do Critério da Integral.

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