Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, citando o critério ou resultado utilizado:
1+\frac{1.3}{2!}+\frac{1.3 .5}{3!}+\cdots+\frac{1.3 .5 \cdots(2 n-1)}{n!}+\cdots.

Passo 1

O enunciado apresenta a série
\sum_{n=1}^{\infty} a_n
com
a_n = \frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{n!}.
Queremos decidir convergência ou divergência. Vamos usar o teste da razão, que compara
\displaystyle L = \lim_{n\to\infty}\bigl|a_{n+1}/a_n\bigr|

Passo 2

Primeiro calculamos a razão dos termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\displaystyle\frac{1\cdot3\cdots(2n-1)\,(2n+1)}{(n+1)!}} {\displaystyle\frac{1\cdot3\cdots(2n-1)}{n!}} = \frac{2n+1}{n+1}.

Passo 3

Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{n+1} = \lim_{n\to\infty}\frac{2 + 1/n}{1 + 1/n} = 2.

Passo 4

Pelo teste da razão, se L>1 então a série diverge. Aqui L=2>1, logo a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da razão (limite da razão dos termos igual a 2>1).

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