Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, citando o critério ou resultado utilizado:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+3 n^{2}}{n^{3}+700}.

Passo 1

O enunciado pede para determinarmos a convergência da série
\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1+3n^2}{n^3+700}.
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas, e vamos usar o teste de comparação em limite, pois o termo geral se comporta como uma função simples quando n é grande.

Passo 2

Observamos que, para n grande,
1+3n^2 \sim 3n^2 \quad\text{e}\quad n^3+700\sim n^3,
portanto
\frac{1+3n^2}{n^3+700}\sim\frac{3n^2}{n^3}=\frac{3}{n}.

Passo 3

Definimos a série comparadora \sum b_n com
b_n = \frac{1}{n},
que é a série harmônica (caso- p com p=1), conhecida por divergir.

Passo 4

Aplicamos o teste de comparação em limite, calculando
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1+3n^2}{n^3+700}}{\frac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n(1+3n^2)}{n^3+700} =\lim_{n\to\infty}\frac{3n^3+n}{n^3+700} =3.
Como esse limite é um número finito e não zero, o teste garante que \sum a_n diverge se, e somente se, \sum b_n diverge.

Passo 5

Sabendo que \sum b_n diverge, concluímos que a série original também diverge pelo teste de comparação em limite.

Resposta

A série diverge (teste de comparação em limite com a série harmônica).

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