Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, citando o critério ou resultado utilizado:
\sum_{n=1}^{\infty} \cos \left(\frac{1}{n^{2}}\right).

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \cos\bigl(\tfrac{1}{n^{2}}\bigr)
é convergente ou divergente. O conteúdo principal aqui é o critério do termo geral (ou teste da divergência), que diz que, se \sum a_n converge, então \lim_{n\to\infty}a_n=0.

Passo 2

Calculamos o limite do termo geral:
\lim_{n\to\infty}\cos\bigl(\tfrac{1}{n^{2}}\bigr) =\cos\!\bigl(\lim_{n\to\infty}\tfrac{1}{n^{2}}\bigr) =\cos(0) =1.

Passo 3

Como o termo geral não tende a zero (tende a 1\neq0), a série não pode convergir. Pelo critério do termo geral, concluímos que a série diverge.

Resposta

A série diverge, pois o termo geral não tende a zero.

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