Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, citando o critério ou resultado utilizado:
\sum_{n=1}^{\infty} \sin \left(\frac{1}{n^{2}}\right).

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \sin\bigl(1/n^{2}\bigr)
é convergente ou divergente. O que vamos usar é um critério de comparação para séries de termos não negativos, junto com o fato de que as séries p-armônicas convergem quando p>1.

Passo 2

Como para todo x\ge0 vale
\sin x \le x,
temos em particular, para cada n\ge1,
\sin\bigl(1/n^{2}\bigr)\le \frac{1}{n^{2}}.
Além disso, \sin(1/n^{2})\ge0, logo estamos no caso de série de termos não negativos.

Passo 3

A série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}
é uma série p-armônica com p=2>1, portanto ela converge. Pelo critério da comparação (uma série com termos não negativos que é menor ou igual a outra convergente também converge), concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty} \sin\bigl(1/n^{2}\bigr)
converge.

Resposta

A série é convergente, por critério da comparação com a série p-armônica de termo geral 1/n^{2}.

Exercícios relacionados