Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, citando o critério ou resultado utilizado:
.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
é convergente ou divergente. O que vamos usar é um critério de comparação para séries de termos não negativos, junto com o fato de que as séries p-armônicas convergem quando .
é convergente ou divergente. O que vamos usar é um critério de comparação para séries de termos não negativos, junto com o fato de que as séries p-armônicas convergem quando
Passo 2
Como para todo
vale
temos em particular, para cada
,
Além disso,
, logo estamos no caso de série de termos não negativos.
Passo 3
A série
é uma série p-armônica com
, portanto ela converge. Pelo critério da comparação (uma série com termos não negativos que é menor ou igual a outra convergente também converge), concluímos que
converge.
Resposta
A série é convergente, por critério da comparação com a série p-armônica de termo geral
.