Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, citando o critério ou resultado utilizado:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n}+9}.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n}+9}
é convergente ou divergente, citando o critério usado. Vamos usar o critério da comparação com uma série geométrica.

Passo 2

Observamos que, para todo n\ge1,
3^{n}+9 \ge 3^{n} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{3^{n}+9} \le \frac{1}{3^{n}}.

Passo 3

A série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}
é uma série geométrica de primeiro termo a=\tfrac{1}{3} e razão
\,r=\tfrac13, com \lvert r\rvert<1. Logo ela converge (ao valor \tfrac{\tfrac13}{1-\tfrac13}=\tfrac12, embora o valor exato não seja necessário para o critério).

Passo 4

Pela comparação, como
0 \le \frac{1}{3^{n}+9} \le \frac{1}{3^{n}}
e sabemos que \sum 1/3^{n} converge, concluímos que
\sum 1/(3^{n}+9) também converge.

Resposta

A série é convergente, por comparação com a série geométrica \sum 1/3^{n}.

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