Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, citando o critério ou resultado utilizado:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{n}}
é convergente ou divergente. O assunto aqui é análise de séries numéricas, e vamos usar o critério da divergência (também chamado de teste da nulidade do termo geral), que diz que se o termo geral não tende a zero, a série não pode convergir.

Passo 2

Precisamos calcular o limite do termo geral
a_{n} = \frac{1}{\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{n}}.
Sabemos que
\displaystyle \lim_{n\to\infty}\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{n} = e,
logo
\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n} = \frac{1}{e}.

Passo 3

Pelo critério da divergência, se
\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n} \neq 0,
então a série \sum a_{n} diverge. Aqui encontramos \lim a_{n}=1/e\neq0, portanto a série é divergente.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\bigl(1+\frac{1}{n}\bigr)^{n}} é divergente pelo teste da divergência.

Exercícios relacionados