Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, citando o critério ou resultado utilizado:
\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{3 n+2}{n} \cdot \frac{4^{n}}{5^{n}+1}\right].

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{3n+2}{n}\,\frac{4^n}{5^n+1}\right]
converge ou diverge. O conteúdo é análise de séries numéricas, e vamos usar comparação assintótica com série geométrica e também o teste da razão.

Passo 2

Observe o comportamento assintótico do termo geral
a_n = \frac{3n+2}{n}\,\frac{4^n}{5^n+1}.
Para n\to\infty temos \frac{3n+2}{n}\to3 e
\frac{4^n}{5^n+1}\sim\frac{4^n}{5^n}=(4/5)^n.
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a_n\sim 3\,(4/5)^n,
e como \sum 3\,(4/5)^n é uma série geométrica de razão 4/5<1, pelo critério de comparação assintótica a série original converge.

Passo 3

Para reforçar, aplicamos o teste da razão. Consideremos
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\frac{3(n+1)+2}{n+1}\,\frac{n}{3n+2}\,\cdot4\;\frac{5^n+1}{5^{n+1}+1}.
Fazendo n\to\infty, cada fator tende a
\tfrac{3(n+1)+2}{n+1}\to3, \tfrac{n}{3n+2}\to\tfrac13, \tfrac{5^n+1}{5^{n+1}+1}\to\tfrac1{5}, de modo que
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =3\cdot\frac13\cdot4\cdot\frac15=\frac45<1.
Pelo teste da razão, a série converge.

Resposta

A série converge (razão de convergência \tfrac45<1).

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