Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, citando o critério ou resultado utilizado:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n^{2}+5}.

Passo 1

O enunciado pede para decidir a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n^{2}+5}
usando um critério de convergência de séries. Vamos aplicar o crité­rio da comparação com uma p-série.

Passo 2

Para n\ge1 vale
n^{2}+5 \ge n^{2}
portanto
0 \le \frac{\sqrt{n}}{n^{2}+5} \le \frac{\sqrt{n}}{n^{2}} = \frac{1}{n^{3/2}}.

Passo 3

Sabemos que a p-série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}
converge porque o expoente 3/2 é maior que 1.

Passo 4

Pelo crité­rio da comparação direta, como
0 \le \frac{\sqrt{n}}{n^{2}+5} \le \frac{1}{n^{3/2}}
e \sum 1/n^{3/2} converge, segue que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n^{2}+5}
também converge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n^{2}+5} é convergente, por comparação com a p-série de expoente 3/2.

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