Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, citando o critério ou resultado utilizado:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+\sqrt{n}}.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+\sqrt{n}}
é convergente ou divergente. Vamos usar um teste de comparação simples com a série harmônica.

Passo 2

Para todo n\ge1 vale \sqrt{n}\le n, logo
n+\sqrt{n}\le n+n = 2n
e daí
\frac{1}{n+\sqrt{n}}\;\ge\;\frac{1}{2n}.

Passo 3

Sabemos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n} =\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
é a série harmônica (multiplicada por 1/2), que diverge.

Passo 4

Pelo teste de comparação para divergência, como
\frac{1}{n+\sqrt{n}}\ge\frac{1}{2n}
e \sum 1/(2n) diverge, segue que
\sum_{n=1}^{\infty}1/(n+\sqrt{n}) também diverge.

Resposta

A série diverge por comparação com a série harmônica.

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