Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, citando o critério ou resultado utilizado:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n^{2}+100}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n^{2}+100}
é convergente ou divergente. O conteúdo envolve testes de convergência de séries numéricas, em especial o critério necessário do termo geral (ou teste do termo geral).

Passo 2

Analisamos o comportamento do termo geral
a_{n} = \frac{n^{2}}{n^{2}+100}.
Calculamos
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}+100} = 1.

Passo 3

Pelo critério do termo geral, se \lim_{n\to\infty}a_{n}\neq 0, então a série
\sum a_{n} não pode convergir. Aqui temos
\lim_{n\to\infty}a_{n}=1\neq 0,
logo a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo critério do termo geral, pois \lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}+100}=1\neq 0.

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