Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, citando o critério ou resultado utilizado:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 10^{n}}.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\,10^n}.
O conteúdo aqui é testes de convergência de séries numéricas, e podemos usar o critério da razão (ou ainda comparação com série geométrica) para decidir.

Passo 2

Aplicando o critério da razão, consideramos
a_n = \frac{1}{n\,10^n} \quad\text{e} \quad a_{n+1} = \frac{1}{(n+1)\,10^{\,n+1}}.
Então
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{1}{(n+1)\,10^{\,n+1}}}{\frac{1}{n\,10^n}} = \frac{n}{n+1}\,\frac{1}{10}.
Como
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}\,\frac{1}{10} = \frac{1}{10} <1,
o critério da razão garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge (por critério da razão, já que o limite da razão dos termos é 1/10<1).

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