Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, citando o critério ou resultado utilizado:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1000}{\sqrt[3]{n+1} \sqrt[4]{n^{3}+5}}.

Passo 1

Estamos analisando a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1000}{\sqrt[3]{n+1}\,\sqrt[4]{n^{3}+5}}.
O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries numéricas, em particular comparação com uma série p.

Passo 2

Para comparar com uma série p, precisamos do comportamento assintótico do termo geral. Note que, para n\to\infty,
\sqrt[3]{n+1}\sim n^{1/3}, \qquad \sqrt[4]{n^{3}+5}\sim n^{3/4}.
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\frac{1000}{\sqrt[3]{n+1}\,\sqrt[4]{n^{3}+5}} \sim 1000\,n^{-\bigl(\tfrac13+\tfrac34\bigr)} = 1000\,n^{-13/12}.

Passo 3

Vamos aplicar o critério da comparação de limite. Definimos
a_n = \frac{1000}{\sqrt[3]{n+1}\,\sqrt[4]{n^{3}+5}}, \quad b_n = \frac{1}{n^{13/12}}.
Então calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty} 1000\, \frac{n^{13/12}}{(n+1)^{1/3}\,(n^{3}+5)^{1/4}} =1000\cdot1=1000.
Esse limite é um número finito e não nulo. Como a série
\sum_{n=1}^\infty b_n
é uma série p com p=\tfrac{13}{12}>1 (logo convergente), o critério da comparação de limite garante que \sum a_n também converge.

Passo 4

Portanto, a série dada é convergente.

Resposta

A série é convergente, por comparação de limite com a série p de expoente 13/12>1.

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