Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, citando o critério ou resultado utilizado:
.
Passo 1
O enunciado pede para decidir a convergência da série
para
. O conteúdo é teste de convergência de séries numéricas, e vamos usar o Teste da Comparação Limite (ou Critério de Comparação com a série
-séria
).
Passo 2
Quando
é grande, o termo
é pequeno, e podemos usar a expansão de Taylor de ordem 1 em torno de zero para
:
Aqui
, portanto
Passo 3
Definimos
Aplicando o Teste da Comparação Limite:
Como
, as séries
e
têm o mesmo comportamento de convergência.
Passo 4
A série
é a famosa
-série que converge se, e somente se,
, e diverge quando
. Logo a nossa série original também converge se, e somente se,
, e diverge para
.
Resposta
A série
converge se, e somente se, , e diverge para
.
converge se, e somente se,