Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, citando o critério ou resultado utilizado:
\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{1}{n^{p}}\right), p>0.

Passo 1

O enunciado pede para decidir a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \ln\!\bigl(1+\tfrac{1}{n^{p}}\bigr)
para p>0. O conteúdo é teste de convergência de séries numéricas, e vamos usar o Teste da Comparação Limite (ou Critério de Comparação com a série p-séria \sum 1/n^{p}).

Passo 2

Quando n é grande, o termo \tfrac{1}{n^{p}} é pequeno, e podemos usar a expansão de Taylor de ordem 1 em torno de zero para \ln(1+x):
\ln(1+x)=x+o(x),\quad x\to0.
Aqui x=1/n^{p}, portanto
\ln\!\bigl(1+\tfrac{1}{n^{p}}\bigr)\sim \tfrac{1}{n^{p}} \quad\text{quando }n\to\infty.

Passo 3

Definimos
a_{n}=\ln\!\bigl(1+\tfrac{1}{n^{p}}\bigr), \quad b_{n}=\tfrac{1}{n^{p}}.
Aplicando o Teste da Comparação Limite:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\ln\!\bigl(1+\frac{1}{n^{p}}\bigr)}{\frac{1}{n^{p}}} =1.
Como 0<L<\infty, as séries \sum a_{n} e \sum b_{n} têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 4

A série \sum b_{n}=\sum 1/n^{p} é a famosa p-série que converge se, e somente se, p>1, e diverge quando 0<p\le1. Logo a nossa série original também converge se, e somente se, p>1, e diverge para 0<p\le1.

Resposta

A série
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\ln\bigl(1+\tfrac{1}{n^{p}}\bigr)
converge se, e somente se, p>1, e diverge para 0<p\le1.

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