Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, citando o critério ou resultado utilizado:
\sum_{n=1}^{\infty} n \ln \left(\frac{n+1}{n}\right).

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} n \ln\!\biggl(\frac{n+1}{n}\biggr)
converge ou diverge. O conteúdo envolvido é séries numéricas e o critério do termo geral para divergência.

Passo 2

Analisamos o comportamento do termo geral a_n = n\ln\bigl(\frac{n+1}{n}\bigr) quando n\to\infty. Como
\ln\!\bigl(1+\tfrac1n\bigr) =\tfrac1n - \tfrac1{2n^2} + o\!\bigl(\tfrac1{n^2}\bigr),
multiplicando por n vem
a_n = n\ln\!\bigl(1+\tfrac1n\bigr) = n\Bigl(\tfrac1n - \tfrac1{2n^2} + o(\tfrac1{n^2})\Bigr) =1 - \tfrac1{2n} + o\!\bigl(\tfrac1n\bigr).
Portanto
\lim_{n\to\infty}a_n = 1.

Passo 3

Como o termo geral não tende a zero, isto viola a condição necessária para que uma série numérica convirja. Pelo critério do termo geral (ou teste da divergência), a série diverge.

Resposta

A série diverge, pois
\lim_{n\to\infty}n\ln\!\bigl(\tfrac{n+1}{n}\bigr)=1\neq0.

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