Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, citando o critério ou resultado utilizado:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{5^{n}}.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{5^{n}}
é convergente ou divergente. Vamos usar conceitos de séries geométricas e o critério da razão para séries numéricas.

Passo 2

Note que os termos formam uma série geométrica com primeiro termo
a_1 = \frac{(-1)^{1+1}}{5^1} = \frac{1}{5}
e razão
r = -\frac{1}{5}.
O resultado clássico para séries geométricas diz que
\sum_{n=1}^{\infty}a_1\,r^{\,n-1}
converge se, e somente se, |r|<1. Aqui temos |r|=\tfrac{1}{5}<1, portanto a série converge.

Passo 3

Para reforçar, aplicamos o critério da razão:
a_n = \frac{(-1)^{n+1}}{5^n} \quad\Longrightarrow\quad \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{1/5^{\,n+1}}{1/5^n} = \frac{1}{5} <1.
Como o limite da razão é menor que 1, a série converge absolutamente, o que garante a convergência da série original.

Resposta

A série converge (convergência absoluta) pelo critério da série geométrica (ou pelo critério da razão).

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