Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, citando o critério ou resultado utilizado:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}-5^{n}}{8^{n}}.

Passo 1

O enunciado pede para decidir a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}-5^{n}}{8^{n}}.
O conteúdo é de séries numéricas e vamos usar o critério (ou teste) da série geométrica para resolver.

Passo 2

Escrevemos o termo geral como diferença de duas potências:
\frac{3^{n}-5^{n}}{8^{n}} =\left(\frac{3}{8}\right)^{n}-\left(\frac{5}{8}\right)^{n}.
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\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}-5^{n}}{8^{n}} =\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{8}\right)^{n} \;-\; \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{8}\right)^{n}.

Passo 3

Aplicamos o critério da série geométrica: uma série
\sum_{n=1}^{\infty}a\,r^{n}
converge se, e somente se, \lvert r\rvert<1. Aqui temos duas séries geométricas com razões
\tfrac{3}{8} e \tfrac{5}{8}. Como
\biggl|\tfrac{3}{8}\biggr|<1 \quad\text{e}\quad \biggl|\tfrac{5}{8}\biggr|<1,
cada uma delas converge.

Passo 4

Sendo cada soma geométrica convergente, a diferença entre elas também converge. Portanto a série original converge.

Resposta

A série converge, por ser diferença de duas séries geométricas com razão em módulo menor que 1.

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