Verifique, em cada caso, se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n} 2^{n}}{n 3^{n+1}}.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}2^{n}}{n\,3^{n+1}}
quanto à convergência absoluta, condicional ou divergência.
O conteúdo aqui é séries numéricas com termos alternados. Para verificar convergência absoluta, vamos aplicar o teste da razão aos valores absolutos dos termos.

Passo 2

Denotemos
a_n = \frac{(-1)^{n}2^{n}}{n\,3^{n+1}}
e calculemos
|a_n| = \frac{2^{n}}{n\,3^{n+1}} = \frac{1}{3}\,\frac{\bigl(2/3\bigr)^{n}}{n}.
Para testar a convergência absoluta, aplicamos o teste da razão a |a_n|.

Passo 3

Calculamos
L = \lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{2^{n+1}}{(n+1)\,3^{n+2}}}{\frac{2^{n}}{n\,3^{n+1}}} = \lim_{n\to\infty}\frac{2}{3}\,\frac{n}{n+1} = \frac{2}{3}.
Como L=\tfrac{2}{3}<1, a série dos valores absolutos \sum|a_n| converge.

Passo 4

A convergência da série de valores absolutos implica que a série original é absolutamente convergente (e, portanto, também convergente).

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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