Verifique, em cada caso, se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\left(\frac{2}{5}\right)^{1 / n}.

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\Bigl(\frac{2}{5}\Bigr)^{1/n}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
O conteúdo principal aqui é o teste da convergência de séries: primeiro verificamos se o termo geral tende a zero (condição necessária) e depois analisamos a convergência absoluta.

Passo 2

Vamos ver o limite do termo geral
a_n = (-1)^{n+1}\Bigl(\frac{2}{5}\Bigr)^{1/n}.
Como
\lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{2}{5}\Bigr)^{1/n} =\exp\Bigl(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\ln\frac{2}{5}\Bigr) =\exp(0)=1,
o termo a_n não tende a zero, pois oscila entre valores próximos de \pm1. Pelo teste da divergência (ou teste do termo geral), a série diverge imediatamente.

Passo 3

Para checar a convergência absoluta, consideramos
\sum_{n=1}^\infty\bigl|a_n\bigr| =\sum_{n=1}^\infty\Bigl(\frac{2}{5}\Bigr)^{1/n}.
Mas acabamos de ver que \bigl(2/5\bigr)^{1/n}\to1\neq0. Logo, pelo teste do termo geral, essa série de termos positivos também diverge.

Passo 4

Como nem a série original nem a série dos módulos satisfazem a condição a_n\to0, concluímos que a série não converge, nem condicionalmente nem absolutamente.

Resposta

A série diverge.

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