Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas. (Observação: em alguns casos pode existir mais de uma maneira de determinar a convergência ou divergência da série.)
sumn=1^+infty[1+(-1)^n]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para decidir se a série sumn=1^+infty [1 + (-1)^n] é convergente ou divergente. Para isso, vamos trabalhar com o conteúdo de séries infinitas e as técnicas básicas para analisar sua convergência ou divergência.

Passo 2

Primeiro, é importante entender o que significa a série ser convergente ou divergente. Uma série converge se a soma dos seus termos se aproxima de um número finito quando somamos infinitamente. Caso contrário, ela diverge.

Passo 3

Vamos analisar o termo geral da série, que é an = 1 + (-1)^n. Esse termo depende de n ser par ou ímpar:
  • Se n for par, (-1)^n = 1, então an = 1 + 1 = 2.
  • Se n for ímpar, (-1)^n = -1, então an = 1 - 1 = 0.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite do termo geral an quando n tende ao infinito não for zero, a série diverge.
Calculando o limite:
limn to infty an = limn to infty [1 + (-1)^n]
Como (-1)^n alterna entre 1 e -1, o limite não existe porque os termos não se aproximam de nenhum valor específico.

Resposta

A série sumn=1^+infty [1 + (-1)^n] é divergente.

Exercícios relacionados