Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas. (Observação: em alguns casos pode existir mais de uma maneira de determinar a convergência ou divergência da série.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para decidir se a série
é convergente ou divergente. Para isso, vamos trabalhar com o conteúdo de séries infinitas e as técnicas básicas para analisar sua convergência ou divergência.
Passo 2
Primeiro, é importante entender o que significa a série ser convergente ou divergente. Uma série converge se a soma dos seus termos se aproxima de um número finito quando somamos infinitamente. Caso contrário, ela diverge.
Passo 3
Vamos analisar o termo geral da série, que é
. Esse termo depende de
ser par ou ímpar:
- Se
for par, , então . - Se
for ímpar, , então .
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite do termo geral
quando
tende ao infinito não for zero, a série diverge.
Calculando o limite:
Como
alterna entre 1 e -1, o limite não existe porque os termos não se aproximam de nenhum valor específico.
Resposta
A série
é divergente.