Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas. (Observação: em alguns casos pode existir mais de uma maneira de determinar a convergência ou divergência da série.)
Passo 1
O enunciado pede para decidir a convergência da série
O conteúdo principal é o estudo de séries numéricas, em especial o teste da
-série e, alternativamente, o teste de condensação de Cauchy.
Passo 2
Note que
Portanto estamos diante de uma
-série da forma
com
. Pelo teste da
-série, sabemos que ela converge se, e somente se,
. Aqui
, logo a série converge.
Passo 3
Como alternativa, podemos aplicar o teste de condensação de Cauchy. Seja
, que é positiva e decrescente para
. Então consideramos
Essa última é uma série geométrica de razão
, portanto converge, e pelo teste de condensação a série original também converge.
Resposta
A série
é convergente.