Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas. (Observação: em alguns casos pode existir mais de uma maneira de determinar a convergência ou divergência da série.)
sumn=1^+infty 1n raiz[3]n

Passo 1

O enunciado pede para decidir a convergência da série
sumn=1^+infty1nraiz[3]n
O conteúdo principal é o estudo de séries numéricas, em especial o teste da p-série e, alternativamente, o teste de condensação de Cauchy.

Passo 2

Note que
1nraiz[3]n=1ncdot n^1/3=1n^4/3
Portanto estamos diante de uma p-série da forma sum 1/n^p com p=4/3. Pelo teste da p-série, sabemos que ela converge se, e somente se, p>1. Aqui 4/3>1, logo a série converge.

Passo 3

Como alternativa, podemos aplicar o teste de condensação de Cauchy. Seja an=1/n^4/3, que é positiva e decrescente para n>=1. Então consideramos
sumk=1^infty2^k a2^k =sumk=1^infty2^k1(2^k)^4/3 =sumk=1^infty2^k-4k/3 =sumk=1^infty2^-k/3
Essa última é uma série geométrica de razão 2^-1/3<1, portanto converge, e pelo teste de condensação a série original também converge.

Resposta

A série sumn=1^+infty1nraiz[3]n é convergente.

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