Use o Teste da Raiz para determinar a convergência ou divergência da série dada:
sumn=2^infty n(ln n)^n;

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teste da Raiz na série
sumn=2^inftyn(ln n)^n
Estamos no tópico de critérios de convergência de séries numéricas e, em particular, vamos precisar calcular
L = limntoinftyraiz[n]l|anr|,
onde an = n(ln n)^n.

Passo 2

Escrevendo a n-ésima raiz de an, temos
raiz[n]|an| ;=;raiz[n]n(ln n)^n ;=;raiz[n]nln n

Passo 3

Calculemos o limite de cada fator quando ntoinfty:
  1. É conhecido que
limntoinftyraiz[n]n = 1
  1. E como ln ntoinfty, segue
limntoinfty1ln n = 0
Portanto,
L = limntoinftyraiz[n]nln n = 1infty = 0

Passo 4

O Teste da Raiz diz que se L<1, a série converge absolutamente. Aqui obtivemos L=0<1, logo a série converge.

Resposta

A série sumn=2^inftyn(ln n)^n converge (convergência absoluta pelo Teste da Raiz).

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