Use o Teste da Raiz para determinar a convergência ou divergência da série dada:
;
Passo 1
O enunciado pede para usar o Teste da Raiz na série
Estamos no tópico de critérios de convergência de séries numéricas e, em particular, vamos precisar calcular
onde
an = n(ln n)^n .
Passo 2
Escrevendo a
n -ésima raiz de
an , temos
Passo 3
Calculemos o limite de cada fator quando
ntoinfty :
- É conhecido que
- E como
, segueln ntoinfty
Portanto,
Passo 4
O Teste da Raiz diz que se
L<1 , a série converge absolutamente. Aqui obtivemos
L=0<1 , logo a série converge.
Resposta
A série
sumn=2^inftyn(ln n)^n converge (convergência absoluta pelo Teste da Raiz).