Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas. (Observação: em alguns casos pode existir mais de uma maneira de determinar a convergência ou divergência da série.)
sumn=1^+infty pin^5;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão é sobre decidir se a série sumn=1^+infty pin^5 converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries infinitas, especificamente o Teste da Série p, para determinar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série p. Uma série p é da forma sumn=1^+infty 1n^p, onde p é um número real positivo. Esse teste nos ajuda a saber se a série converge ou não com base no valor de p.

Passo 3

No nosso caso, a série é sumn=1^+infty pin^5. Podemos reescrever isso como pi sumn=1^+infty 1n^5. Aqui, p = 5.

Passo 4

De acordo com o Teste da Série p, se p > 1, a série sumn=1^+infty 1n^p converge; se p <= 1, ela diverge. No nosso caso, p = 5, que é maior que 1.

Passo 5

Como p = 5 > 1, concluímos que a série sumn=1^+infty 1n^5 converge. E como multiplicar uma série convergente por uma constante ( pi nesse caso) ainda resulta em uma série convergente, nossa série original também converge.

Resposta

A série sumn=1^+infty pin^5 é convergente.

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