Determine os coeficientes e da função quadrática que passa pelos pontos e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os coeficientes , e de uma função quadrática que passa por três pontos específicos: , e . Isso envolve conceitos de funções quadráticas e sistemas de equações. Para resolver, vamos usar as coordenadas dos pontos para montar um sistema de equações e resolver para , e .
Passo 2
Primeiro, lembrando que uma função quadrática tem a forma . Sabemos que essa função passa pelos pontos dados, então podemos substituir cada par na equação para formar três equações.
Para o ponto :
Passo 3
Para o ponto :
Passo 4
Para o ponto :
Passo 5
Agora temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, podemos eliminar c subtraindo a Equação 1 da Equação 2 e da Equação 3.
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
(9a + 3b + c) - (a + b + c) = 10 - 2 8a + 2b = 8 Rightarrow 4a + b = 4 (Equação 4) çã
Subtraindo a Equação 1 da Equação 3:
(16a + 4b + c) - (a + b + c) = 17 - 2 15a + 3b = 15 Rightarrow 5a + b = 5 (Equação 5) çã
Passo 6
Agora temos um sistema menor com Equação 4 e Equação 5:
4a + b = 4 (Equação 4) 5a + b = 5 (Equação 5) çãçã
Vamos eliminar b subtraindo a Equação 4 da Equação 5:
(5a + b) - (4a + b) = 5 - 4 a = 1
Passo 7
Com a = 1 , podemos substituir esse valor na Equação 4 para encontrar b :
4(1) + b = 4 4 + b = 4 b = 0
Passo 8
Agora que sabemos que a = 1 e b = 0 , substituímos esses valores na Equação 1 para encontrar c :