1. Esboce o gráfico da função g(x)=-x^2+6 x-5, identificando o vértice e os zeros da função.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o gráfico da função g(x) = -x^2 + 6x - 5. Isso é uma função quadrática, que forma uma parábola. Para resolver, vamos precisar encontrar o vértice da parábola e os pontos onde ela cruza o eixo x (os zeros da função). Vamos usar fórmulas básicas de funções do segundo grau para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da função quadrática. A função geral é g(x) = a x^2 + b x + c, onde:
  • a = -1
  • b = 6
  • c = -5
Esses valores vão nos ajudar a encontrar o vértice e os zeros da função.

Passo 3

Vamos encontrar o vértice da parábola. O vértice tem coordenadas (xv, yv), onde:
xv = -b2a
Substituindo os valores:
xv = -62 times (-1) = -6-2 = 3
Agora, para encontrar yv, substituímos xv na função:
yv = - (3)^2 + 6 times 3 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4
Então, o vértice é (3, 4).

Passo 4

Agora, vamos encontrar os zeros da função, ou seja, os valores de x que fazem g(x) = 0.
Temos a equação:
- x^2 + 6x - 5 = 0
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Calculando o discriminante ( De<a):
De<a = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 times (-1) times (-5) = 36 - 20 = 16
Como De<a = 16 > 0, temos duas raízes reais:
x = -6 pm raiz162 times (-1) = -6 pm 4-2
Calculando as duas possibilidades:
x = -6 + 4-2 = -2-2 = 1
x = -6 - 4-2 = -10-2 = 5
Então, os zeros da função são x = 1 e x = 5.

Passo 5

Com o vértice em (3, 4) e os zeros em x = 1 e x = 5, podemos esboçar o gráfico da parábola:
  • Como o coeficiente a = -1 é negativo, a parábola abre para baixo.
  • O vértice (3, 4) é o ponto mais alto da parábola.
  • A parábola cruza o eixo x nos pontos (1, 0) e (5, 0).
Então, o gráfico será uma parábola voltada para baixo, com o vértice no ponto mais alto e cruzando o eixo x nos pontos mencionados.

Resposta

O gráfico da função g(x) = -x^2 + 6x - 5 é uma parábola que abre para baixo, com vértice em (3, 4) e intersecta o eixo x nos pontos x = 1 e x = 5.

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