Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas. (Observação: em alguns casos pode existir mais de uma maneira de determinar a convergência ou divergência da série.)
sumn=1^+infty n^2+12 n^2-1;

Passo 1

O enunciado pede para decidir a convergência da série
sumn=1^inftyn^2+12n^2-1
O conteúdo que vamos usar é o teste da divergência (ou teste do termo geral) e, secundariamente, um teste de comparação simples.

Passo 2

Vamos calcular o limite do termo geral
an=n^2+12n^2-1
quando ntoinfty. Note que
limntoinftyan =limntoinftyn^2l(1+1n^2r)n^2l(2-1n^2r) =1+02-0 =12

Passo 3

Pelo teste da divergência, se
limntoinftyanneq 0
então a série sum an diverge. Aqui temos
limntoinftyan=tfrac12neq 0,
logo a série diverge.

Passo 4

Como apoio, podemos usar um teste de comparação: para todo n>=1 vale
n^2+12n^2-1 >n^22n^2 =12
Portanto sum an é maior termo a termo que sum12, e esta última é uma série de termos constantes não nulos, que diverge. Logo a série original também diverge.

Resposta

A série sumn=1^inftyn^2+12n^2-1 diverge.

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