Justifique suas respostas.
Determine
.
Determine
Passo 1
Vamos dar uma olhada no problema: precisamos calcular o limite quando
se aproxima de
da expressão
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites, funções trigonométricas e exponenciais, além da regra de L’Hospital.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos
na expressão:
Essa forma
é uma indeterminação, o que significa que precisamos aplicar uma técnica para encontrar o limite. Aqui, a regra de L’Hospital é perfeita para resolver isso.
Passo 3
A regra de L’Hospital nos diz que se
resulta em uma indeterminação
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente. Vamos derivar o numerador e o denominador da nossa expressão:
- Derivada do numerador
:
- Derivada do denominador
:
Passo 4
Agora, aplicamos a regra de L’Hospital substituindo as derivadas na expressão do limite:
Substituindo
:
Resposta
O limite é
.