Justifique suas respostas.
Determine lim x 0 x-sen xe^x-e^-x.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema: precisamos calcular o limite quando x se aproxima de 0 da expressão x - sin xe^x - e^-x. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites, funções trigonométricas e exponenciais, além da regra de L’Hospital.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos x = 0 na expressão:
0 - sin(0)e^0 - e^-0 = 0 - 01 - 1 = 00
Essa forma 00 é uma indeterminação, o que significa que precisamos aplicar uma técnica para encontrar o limite. Aqui, a regra de L’Hospital é perfeita para resolver isso.

Passo 3

A regra de L’Hospital nos diz que se limx to a f(x)g(x) resulta em uma indeterminação 00 ou inftyinfty , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente. Vamos derivar o numerador e o denominador da nossa expressão:
  • Derivada do numerador f(x) = x - sin x :
f'(x) = 1 - cos x
  • Derivada do denominador g(x) = e^x - e^-x :
g'(x) = e^x + e^-x

Passo 4

Agora, aplicamos a regra de L’Hospital substituindo as derivadas na expressão do limite:
limx to 0 1 - cos xe^x + e^-x
Substituindo x = 0 :
1 - cos(0)e^0 + e^-0 = 1 - 11 + 1 = 02 = 0

Resposta

O limite é 0 .

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