Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas. (Observação: em alguns casos pode existir mais de uma maneira de determinar a convergência ou divergência da série.)
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. O conteúdo envolve séries numéricas, em particular decomposição em frações parciais e séries telescópicas.
Passo 2
Escrevemos o termo geral como
Para decompor em frações parciais, suponha
Multiplicando por
obtemos
Comparando coeficientes de
e termos constantes, vem
logo
e
. Assim
Passo 3
Considere a soma parcial
Escrevendo os primeiros termos:
Observamos que todos os termos intermediários se cancelam, sobrando
Passo 4
Como
o limite das somas parciais existe e é finito. Portanto a série converge.
Resposta
A série
converge (e seu valor é
).