Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas. (Observação: em alguns casos pode existir mais de uma maneira de determinar a convergência ou divergência da série.)
sumn=1^+infty 1n^2+n

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty1n^2+n
converge ou diverge. O conteúdo envolve séries numéricas, em particular decomposição em frações parciais e séries telescópicas.

Passo 2

Escrevemos o termo geral como
1n^2+n = 1n(n+1)
Para decompor em frações parciais, suponha
1n(n+1) = An + Bn+1
Multiplicando por n(n+1) obtemos
1 = A(n+1) + Bn
Comparando coeficientes de n e termos constantes, vem
A + B = 0, A = 1,
logo A=1 e B=-1. Assim
1n^2+n = 1n - 1n+1

Passo 3

Considere a soma parcial
SN = sumn=1^Nl(1n - 1n+1r)
Escrevendo os primeiros termos:
SN = l(1 - tfrac12r) + l(tfrac12 - tfrac13r) + cdots + l(tfrac1N - tfrac1N+1r)
Observamos que todos os termos intermediários se cancelam, sobrando
SN = 1 - 1N+1

Passo 4

Como
limNtoinftySN = 1 - 0 = 1,
o limite das somas parciais existe e é finito. Portanto a série converge.

Resposta

A série sumn=1^infty1n^2+n converge (e seu valor é 1).

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