Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas. (Observação: em alguns casos pode existir mais de uma maneira de determinar a convergência ou divergência da série.)
sumn=1^+infty 1(n+1)^n+1

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série de termos positivos
sumn=1^+infty1(n+1)^,n+1
é convergente ou divergente. Para séries de termos positivos, um método eficiente é o teste da razão, que compara o quociente an+1/an.

Passo 2

Seja
an = 1(n+1)^,n+1
Aplicando o teste da razão, calculamos o quociente entre termos consecutivos:
an+1an =1(n+2)^,n+2 1(n+1)^,n+1 =(n+1)^,n+1(n+2)^,n+2 =gl(n+1n+2gr)^!n+1cdot1n+2

Passo 3

Agora tomamos o limite quando ntoinfty:
limntoinftyan+1an =limntoinftygl(n+1n+2gr)^!n+1cdot1n+2
Como l(tfracn+1n+2r)^n+1to e^-1 e tfrac1n+2to0, o produto tende a 0. Pelo teste da razão, se esse limite L<1, a série converge.

Resposta

A série sumn=1^+infty1(n+1)^,n+1 é convergente.

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