Justifique suas respostas.
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da fimpio
Dica: Teorema Fundamental do Cálculo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir em quais intervalos a função está crescendo ou decrescendo. Isso está relacionado com cálculo diferencial, especialmente com o Teorema Fundamental do Cálculo, que conecta integrais e derivadas. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a derivada de e analisar onde ela é positiva (crescendo) ou negativa (decrescendo).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de . Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se temos uma função definida por uma integral como , então a derivada é dada por:
No nosso caso, e . Então, a derivada de é:
Passo 3
Agora que temos a derivada g'(x) = 2x^3(x^4 + 1) , vamos analisar onde ela é positiva ou negativa para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento.
Primeiro, observe que x^4 + 1 é sempre positiva porque x^4 é sempre não negativa e somando 1 fica sempre maior que zero. Então, o sinal de g'(x) depende apenas de 2x^3 .
Quando x^3 > 0 (ou seja, x > 0 ), g'(x) > 0 → função está crescendo.
Quando x^3 < 0 (ou seja, x < 0 ), g'(x) < 0 → função está decrescendo.
Em x = 0 , g'(x) = 0 , ponto crítico.
Resposta
A função g(x) está crescendo para todos os valores de x maiores que zero e decrescendo para todos os valores de x menores que zero.