Justifique suas respostas.
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da fimpio
g(x)=integral0^x^2 t(t^2+1) d t
Dica: Teorema Fundamental do Cálculo

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir em quais intervalos a função g(x) = integral0^x^2 t(t^2+1) , dt está crescendo ou decrescendo. Isso está relacionado com cálculo diferencial, especialmente com o Teorema Fundamental do Cálculo, que conecta integrais e derivadas. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a derivada de g(x) e analisar onde ela é positiva (crescendo) ou negativa (decrescendo).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de g(x) . Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se temos uma função definida por uma integral como g(x) = integrala^u(x) f(t) , dt , então a derivada g'(x) é dada por:
g'(x) = f(u(x)) cdot u'(x)
No nosso caso, u(x) = x^2 e f(t) = t(t^2+1) . Então, a derivada de g(x) é:
g'(x) = t(t^2+1) g|t = x^2 cdot ddx(x^2) = x^2(x^4 + 1) cdot 2x = 2x^3(x^4 + 1)

Passo 3

Agora que temos a derivada g'(x) = 2x^3(x^4 + 1) , vamos analisar onde ela é positiva ou negativa para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento.
Primeiro, observe que x^4 + 1 é sempre positiva porque x^4 é sempre não negativa e somando 1 fica sempre maior que zero. Então, o sinal de g'(x) depende apenas de 2x^3 .
  • Quando x^3 > 0 (ou seja, x > 0 ), g'(x) > 0 → função está crescendo.
  • Quando x^3 < 0 (ou seja, x < 0 ), g'(x) < 0 → função está decrescendo.
  • Em x = 0 , g'(x) = 0 , ponto crítico.

Resposta

A função g(x) está crescendo para todos os valores de x maiores que zero e decrescendo para todos os valores de x menores que zero.
Em termos de intervalos:
  • Crescimento: x in (0, +infty)
  • Decrescimento: x in (-infty, 0)

Exercícios relacionados