Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas. (Observação: em alguns casos pode existir mais de uma maneira de determinar a convergência ou divergência da série.)
sumn=1^+infty(1n^3+1raiz[3]n)

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=1^+inftyl(1n^3+1raiz[3]nr)
é convergente ou divergente. Aqui vamos usar que a soma de duas séries converge se, e somente se, cada uma delas convergir (princípio da linearidade) e o teste da p-série, segundo o qual
sumn=1^infty1n^p
converge se, e só se, p>1.

Passo 2

Separamos a série dada em duas séries simples:
sumn=1^infty1n^3 e sumn=1^infty1raiz[3]n = sumn=1^infty1n^1/3

Passo 3

Analisamos
sumn=1^infty1n^3
Aqui p=3>1, logo pela regra da p-série esta parte converge.

Passo 4

Agora olhamos
sumn=1^infty1n^1/3
Neste caso p=tfrac13<=1, então pela mesma regra da p-série esta parte diverge.

Passo 5

Como a segunda série diverge, a soma das duas
sumn=1^inftyl(1n^3+1n^1/3r)
também diverge, pois para convergir ambas as parcelas precisariam convergir.

Resposta

A série diverge.

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