Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas. (Observação: em alguns casos pode existir mais de uma maneira de determinar a convergência ou divergência da série.)
sumn=1^+infty(12 n+13 n)

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=1^+inftyl(tfrac12n + tfrac13nr)
é convergente ou divergente. O conteúdo usado será reconhecimento de série harmônica e teste de comparação para séries de termos positivos.

Passo 2

Somando os frações temos
tfrac12n + tfrac13n = 3 + 26,n = 56,1n
Assim a série original é
sumn=1^+inftyl(tfrac12n + tfrac13nr) = 56sumn=1^+infty1n

Passo 3

Sabemos que a série harmônica
sumn=1^+infty1n
é divergente (p-série com p=1). Multiplicar por tfrac56 não muda a natureza: continua divergente. Alternativamente, pelo teste de comparação temos para todo n:
tfrac12n + tfrac13n >= tfrac13n,
e já que sum 1/(3n)=(1/3)sum1/n diverge, a série dada também diverge.

Resposta

A série é divergente.

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