Decida se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas. (Observação: em alguns casos pode existir mais de uma maneira de determinar a convergência ou divergência da série.)
sumn=1^infty arctg nn^11,3

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=1^inftyarctan(n)n^11,3
é convergente ou divergente. O conteúdo principal aqui é teste de convergência para séries de termos positivos, usando comparação com séries do tipo p-série ou teste da comparação limite.

Passo 2

Observamos que, para todo n>=1,
0<arctan(n)<pi2
Logo, cada termo da série é positivo e limitado acima por
arctan(n)n^11,3<pi/2n^11,3

Passo 3

Sabemos que a série
sumn=1^infty1n^11,3
é uma p-série com p=11,3>1, logo converge. Multiplicando por constante não altera a convergência, de modo que
sumn=1^inftypi/2n^11,3
também converge.

Passo 4

Pelo teste de comparação direta, como
0<=arctan(n)n^11,3<=pi/2n^11,3
e a série maior converge, concluímos que
sumn=1^inftyarctan(n)n^11,3
converge.

Resposta

A série converge.

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