1. Esboce o gráfico da função h(x)=tan (x), destacando suas assíntotas verticais.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função trigonométrica tan(x), destacando suas assíntotas verticais. O conteúdo é análise de funções periódicas e assíntotas; vamos precisar identificar domínio, período, zeros, comportamento nos extremos de cada ramo e localizar as retas onde a função “explode”.

Passo 2

Determinar o domínio e as assíntotas verticais. A tangente está indefinida sempre que cos(x)=0. Logo as assíntotas verticais ocorrem em
x = pi2 + kpi, kinZ
O domínio da função é
Rsetminusltfracpi2+kpir

Passo 3

Encontrar o período e os zeros. A função tan(x) tem período pi, ou seja, repete seu formato a cada comprimento pi. Seus zeros ocorrem quando sin(x)=0 e cos(x)neq0, isto é,
x = kpi, kinZ

Passo 4

Analisar o comportamento em cada intervalo entre assíntotas. No intervalo principal l(-tfracpi2,tfracpi2r) a função é contínua, estritamente crescente, passa por (0,0) e satisfaz
limxtopi2^-tan(x) = +infty, limxto-pi2^+tan(x) = -infty
Em qualquer outro intervalo l(tfracpi2+kpi,tfrac3pi2+kpir) ocorre exatamente o mesmo padrão, só que deslocado em kpi.

Passo 5

Esboçar um período e replicar.
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Trace linhas verticais tracejadas em
    x=pi2+kpi.
  3. Marque os pontos onde tan(x)=0 em x=kpi.
  4. No intervalo l(-tfracpi2,tfracpi2r), ligue (-tfracpi2,-infty) passando por (0,0) até (tfracpi2,+infty) com uma curva estritamente crescente.
  5. Copie este formato em cada intervalo de comprimento pi.

Resposta

O gráfico de y=tan(x) consiste em curvas monotônicas crescentes, cada uma definida em l(tfracpi2+kpi,tfracpi2+(k+1)pir), que passam por l(kpi,0r) e tendem a +infty e -infty nas bordas. As assíntotas verticais estão em
x = pi2 + kpi, kinZ

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