1. Resolva a equação sin (x)+cos (x)=1 no intervalo [0,2 pi].

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
sin(x)+cos(x)=1
no intervalo [0,2pi].
O conteúdo principal é trigonometria, e vamos usar a identidade
sin(x)+cos(x)=raiz2,sin!l(x+tfracpi4r)
para transformar a soma numa única função seno deslocada.

Passo 2

Aplicando a identidade, a equação original vira
raiz2,sin!l(x+tfracpi4r)=1
Agora isolamos o seno:
sin!l(x+tfracpi4r)=1raiz2

Passo 3

Sabemos que sin(theta)=1/raiz2 acontece quando
theta=pi4+2pi koutheta=3pi4+2pi k,
com kinZ.
Aqui theta=x+tfracpi4, então
x+tfracpi4=pi4+2pi k Longrightarrow x=2pi k,
x+tfracpi4=3pi4+2pi k Longrightarrow x=pi2+2pi k

Passo 4

Agora escolhemos os k inteiros que tornam x caindo em [0,2pi]:
  • Para x=2pi k, com k=0 x=0; com k=1 x=2pi.
  • Para x=tfracpi2+2pi k, o único dentro de [0,2pi] é com k=0, ou seja x=tfracpi2.

Resposta

As soluções em [0,2pi] são
x=0, x=pi2, x=2pi

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