Decida sobre a convergêncía da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{5+2 n^{3}}}{(n+2)^{2}-4}

Passo 1

O enunciado nos pede para decidir sobre a convergência da série
\sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{5+2n^3}}{(n+2)^2 -4}.
O conteúdo aqui é séries numéricas e o que vamos usar é o Critério da Comparação Limítrofe, comparando com uma p‐série.

Passo 2

Analisamos o comportamento assintótico do termo geral
a_n = \frac{\sqrt{5+2n^3}}{(n+2)^2 -4}.
Para n\to\infty, nota-se que
\sqrt{5+2n^3} = n^{3/2}\sqrt{2 + \frac{5}{n^3}} \sim \sqrt{2}\,n^{3/2},
e
(n+2)^2 -4 = n^2 +4n +4 -4 = n^2 +4n \sim n^2.
Logo
a_n \sim \frac{\sqrt{2}\,n^{3/2}}{n^2} = \frac{\sqrt{2}}{n^{1/2}}.

Passo 3

Aplicamos o Critério da Comparação Limítrofe com a série
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{1/2}}.
Calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{1/n^{1/2}} = \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{5+2n^3}}{(n+2)^2 -4}\,n^{1/2} = \sqrt{2}.
Como esse limite é finito e positivo, as duas séries têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 4

Sabemos que a p-série
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}
converge se, e somente se, p>1. Aqui p = \tfrac12 \le 1, logo
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{1/2}}
diverge.

Passo 5

Pelo Critério da Comparação Limítrofe, a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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