QUESTÃO 02: Água quente escoa no interior de uma tubulação cilindrica, de raios \mathrm{R}_{\mathrm{i}}=1 \mathrm{~cm} e \mathrm{R}_{\mathrm{e}}=1,3 \mathrm{~cm}, constituída de aço com condutividade térmica \mathrm{k}_{\mathrm{kpo}} =40 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}. A superfície interna deste duto permanece à temperatura \mathrm{T}_{\mathrm{i}}=90^{\circ} \mathrm{C}. O ar ambiente ao redor da tubulação permanece com temperatura \mathrm{T}_{\mathrm{ar}}=25^{\circ} \mathrm{C} \mathrm{e} coeficiente de transferência de calor por convecção \mathrm{h}_{\mathrm{ar}}=5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{20} \mathrm{C}. Determine a diferença de calor perdido em módulo (W/m), com e sem isolamento térmico, se este tubo for revestido com um isolante com \mathrm{k}_{\text {is }}=0,16 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{Cle} de forma que seu \underline{\text { raio seja igual ao raio crítico de isolamento. (3 pontos) }}í

Passo 1

Resumindo o enunciado: uma tubulação cilíndrica de raio interno \mathrm{R}_i=0,01\mathrm{\,m} e raio externo \mathrm{R}_e=0,013\mathrm{\,m} tem sua superfície interna a \mathrm{T}_i=90^\circ\mathrm{C} e está em contato com ar ambiente a \mathrm{T}_{ar}=25^\circ\mathrm{C} com coeficiente de convecção h=5\mathrm{\,W/(m^2\,^\circ C)}. O tubo é de aço com condutividade k_{aco}=40\mathrm{\,W/(m\,^\circ C)}. Vamos calcular o fluxo térmico por metro sem isolamento e com isolamento cujo raio externo seja o raio crítico do isolante.

Passo 2

A resistência térmica por metro sem isolamento é dada por
R_{cond}=\frac{\ln(\mathrm{R}_e/\mathrm{R}_i)}{2\pi\,k_{aco}\,L},\quad R_{conv}=\frac{1}{h\,2\pi\,\mathrm{R}_e\,L},
com L=1\mathrm{\,m}. Substituindo,
R_{cond}=\frac{\ln(0,013/0,01)}{2\pi\cdot40\cdot1}\approx0,00104\mathrm{\,K/W}, \quad R_{conv}=\frac{1}{5\cdot2\pi\cdot0,013\cdot1}\approx2,448\mathrm{\,K/W}.
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R_{tot,sem}=R_{cond}+R_{conv}\approx2,449\mathrm{\,K/W}.

Passo 3

O fluxo térmico por metro sem isolamento é
\dot Q_{sem}=\frac{\Delta T}{R_{tot,sem}} =\frac{90-25}{2,449}\approx26,53\mathrm{\,W/m}.

Passo 4

O raio crítico do isolante cilíndrico é
\mathrm{R}_c=\frac{k_{is}}{h}=\frac{0,16}{5}=0,032\mathrm{\,m},
que é maior que \mathrm{R}_e. Aplicar isolante até \mathrm{R}_c maximiza a troca térmica.

Passo 5

Com isolante até \mathrm{R}_c as resistências são
R_{cond,aco}=\frac{\ln(\mathrm{R}_e/\mathrm{R}_i)}{2\pi\,k_{aco}\,L}\approx0,00104\mathrm{\,K/W},
R_{cond,is}=\frac{\ln(\mathrm{R}_c/\mathrm{R}_e)}{2\pi\,k_{is}\,L} =\frac{\ln(0,032/0,013)}{2\pi\cdot0,16\cdot1}\approx0,896\mathrm{\,K/W},
R_{conv,c}=\frac{1}{h\,2\pi\,\mathrm{R}_c\,L} =\frac{1}{5\cdot2\pi\cdot0,032\cdot1}\approx0,995\mathrm{\,K/W}.
Assim
R_{tot,com}=R_{cond,aco}+R_{cond,is}+R_{conv,c}\approx1,892\mathrm{\,K/W}.

Passo 6

O fluxo térmico por metro com o isolante até \mathrm{R}_c é
\dot Q_{com}=\frac{90-25}{1,892}\approx34,36\mathrm{\,W/m}.

Passo 7

A diferença de calor perdido, em módulo, por metro é
|\Delta\dot Q|=|\dot Q_{com}-\dot Q_{sem}| \approx|34,36-26,53|=7,83\mathrm{\,W/m}.

Resposta

A diferença de calor perdido (módulo) por metro é aproximadamente 7,83\mathrm{\,W/m}.

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