Decida sobre a verdade ou falsidade das seguintes afirmações:
A área limitada pelas curvas y=-x^2+4 e y=-x+2 é a seguinte integral: integral-1^2(x^2-x-2) d x.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas ,y=-x^2+4 e ,y=-x+2. O conteúdo aqui é cálculo de área entre curvas usando integral definida: precisamos achar os pontos de interseção (os limites de integração) e formar a expressão da diferença entre a função superior e a inferior.

Passo 2

Para encontrar as abscissas dos pontos de interseção, igualamos as duas funções:
-x^2+4 = -x+2
Rightarrow -x^2 + x + 2 = 0
Rightarrow x^2 - x - 2 = 0
As raízes são
x = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32,
isto é, x=-1 e x=2.

Passo 3

Para decidir qual curva está acima, basta avaliar num valor intermediário, por exemplo x=0:
y1=-0^2+4=4, y2=-0+2=2,
logo ,y=-x^2+4 é a função superior e ,y=-x+2 é a função inferior em todo o intervalo [-1,2].

Passo 4

A área é dada por
integral-1^2l[underbrace-x^2+4superior ;-;underbrace(-x+2)inferiorr],dx =integral-1^2l(-x^2+x+2r),dx

Passo 5

A integral proposta no enunciado é
integral-1^2l(x^2-x-2r),dx
mas note que
x^2-x-2 = -l(-x^2+x+2r),
logo não coincide com a integral que representa a área (seria o negativo). Portanto, a afirmação é falsa.

Resposta

Falso.

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