Encontre o valor médio de f no intervalo dado.
(i) f(x)=(x-3)^2,[2,5]
(ii) f(x)=1x,[1,3]
(iii) f(x)=2 sin (x)-sin (2 x),[0, pi]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor médio de uma função no intervalo, que é um conceito de cálculo integral (média de f em [a,b]). Precisamos aplicar isso em três casos: (i) f(x)=(x-3)² em [2,5], (ii) f(x)=1/x em [1,3], (iii) f(x)=2 sin(x)−sin(2x) em [0,π].

Passo 2

A fórmula do valor médio de f em [a,b] é dada por:
1b-aintegrala^b f(x),dx

Passo 3

Para (i) f(x)=(x-3)² em [2,5]: expandimos
(x-3)² = x² - 6x + 9, ²²
integral indefinida:
integral(x² - 6x + 9),dx = x³3 - 3x² + 9x + C ²³²
A integral definida é
[x³3 - 3x² + 9x]2^5 = l(1253-75+45r) - l(83-12+18r) = 3 ³²
Logo o valor médio é
35-2 = 1

Passo 4

Para (ii) f(x)=1/x em [1,3]:
integral 1x,dx = ln(x) + C,
integral1^3 1x,dx = ln(3) - ln(1) = ln(3)
O valor médio é
ln(3)3-1 = ln(3)2

Passo 5

Para (iii) f(x)=2 sin(x)−sin(2x) em [0,π]:
integral (2sin(x)-sin(2x)),dx = -2cos(x) + tfrac12cos(2x) + C,
[-2cos(x) + tfrac12cos(2x)]0^pi = l(-2(-1)+tfrac12·1r) - l(-2·1+tfrac12·1r) = 4
O valor médio é
4pi-0 = 4pi

Resposta

(i) 1; (ii) \frac{\ln(3)}{2}; (iii) \frac{4}{\pi}

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