Decida o tipo da superfície quádrica e descreva o traço obtido pela interseção com o plano dado.
x^2+(y4)^2+z^2=1, y=0.

Passo 1

O enunciado dá a superfície quádrica
x^2+(y4)^2+z^2=1
e pede (a) que a gente classifique o tipo dessa superfície e (b) que descreva o traço obtido ao intersectá-la com o plano y=0. O conteúdo envolve reconhecer a forma canônica de superfícies quádricas (sem termos mistos ou lineares) e calcular seções planas.

Passo 2

Para classificar, reescrevemos em forma canônica como soma de três quadrados igual a 1, com denominadores positivas:
x^21+y^216+z^21=1
Todos os coeficientes das variáveis quadráticas são positivos e não há termos mistos nem lineares, logo a superfície é um elipsoide centralizado na origem, cujos semi-eixos medem 1, 4 e 1 nas direções x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Para achar o traço com o plano y=0, basta substituir y=0 na equação original:
x^2+gl(04gr)^2+z^2=1 Longrightarrow x^2+z^2=1
No plano y=0, essa equação descreve um círculo de raio 1, centrado na origem do plano xz.

Resposta

A superfície é um elipsoide de equação tfracx^21+tfracy^216+tfracz^21=1.
O traço com o plano y=0 é o círculo de raio 1 dado por x^2+z^2=1.

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