1. Decida se os vetores \mathbf{a}=(1,1,2), \mathbf{b}=(2,-1,3) e \mathbf{c}=(3,0,4) são linearmente dependentes ou independentes.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3 e pede para decidir se eles são linearmente dependentes ou independentes. Os dados são:
  • \mathbf{a}=(1,1,2)
  • \mathbf{b}=(2,-1,3)
  • \mathbf{c}=(3,0,4)
A pergunta é: esses três vetores são linearmente dependentes ou linearmente independentes?

Passo 2

Primeiro, o que significa linearmente dependente/independente? Vou explicar passo a passo e de um jeito bem claro.
Definição (em palavras simples): os vetores \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} são linearmente dependentes se existir uma combinação linear não trivial
\alpha\,\mathbf{a}+\beta\,\mathbf{b}+\gamma\,\mathbf{c}=\mathbf{0}
com pelo menos um coeficiente \alpha,\beta,\gamma diferente de zero. Se a única solução para essa igualdade for \alpha=\beta=\gamma=0 (a combinação trivial), então os vetores são linearmente independentes.
Explicando cada símbolo:
  • \alpha,\beta,\gamma são números reais (os coeficientes da combinação).
  • \mathbf{0} é o vetor nulo (0,0,0).
    A ideia prática: se um vetor puder ser escrito como combinação dos outros, então há dependência; caso contrário, são independentes.

Passo 3

Escrevendo a igualdade da combinação linear componente a componente. Seja
\alpha\,\mathbf{a}+\beta\,\mathbf{b}+\gamma\,\mathbf{c}=\mathbf{0}.
Substituindo os vetores:
\alpha(1,1,2)+\beta(2,-1,3)+\gamma(3,0,4)=(0,0,0).
Igualando componente a componente obtemos o sistema linear:
\begin{cases} \alpha + 2\beta + 3\gamma = 0,\\[4pt] \alpha - \beta + 0\gamma = 0,\\[4pt] 2\alpha + 3\beta + 4\gamma = 0. \end{cases}
Se esse sistema tiver apenas a solução \alpha=\beta=\gamma=0, então os vetores são independentes.]

Passo 4

Uma forma eficiente de testar isso é montar a matriz cujas colunas são os vetores e calcular o determinante. Se a matriz 3×3 tiver determinante diferente de zero, suas colunas (os três vetores) são linearmente independentes; se o determinante for zero, são dependentes.
Construindo a matriz com as colunas \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 1 & -1 & 0\\[4pt] 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}.
Vamos calcular \det(A). Se \det(A)\neq 0 conclui-se independência.]

Passo 5

Vou explicar rápida e didaticamente como calcular \det(A) por expansão pela primeira linha (método dos menores e cofatores):
Para uma matriz
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix},
a expansão pela primeira linha é
\det = a_{11}\,C_{11} - a_{12}\,C_{12} + a_{13}\,C_{13},
onde cada C_{1j} é o determinante do menor 2\times2 obtido eliminando a primeira linha e a j-ésima coluna.
No nosso caso:
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcule cada menor 2\times2. Lembrando que para uma matriz \begin{pmatrix} p & q \\\ r & s \end{pmatrix} o determinante é ps-qr.
  1. Primeiro menor:
\det\begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix}=(-1)\cdot 4 - 0\cdot 3 = -4.
  1. Segundo menor:
\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}=1\cdot 4 - 0\cdot 2 = 4.
  1. Terceiro menor:
\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}=1\cdot 3 - (-1)\cdot 2 = 3+2 = 5.]

Passo 7

Substituindo esses valores na expansão:
\det(A)=1\cdot(-4) - 2\cdot(4) + 3\cdot(5).
Calculando passo a passo:
1\cdot(-4) = -4, \qquad -2\cdot 4 = -8, \qquad 3\cdot 5 = 15.
Somando:
\det(A) = -4 -8 +15 = 3.

Passo 8

Interpretação do resultado: obtivemos \det(A)=3, que é diferente de zero. Isso significa que a matriz A tem posto máximo (posto 3) e, portanto, suas colunas — que são exatamente os vetores \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} — são linearmente independentes. Em termos da definição, o sistema homogeneo só tem a solução trivial \alpha=\beta=\gamma=0.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes.

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