com pelo menos um coeficiente \alpha,\beta,\gamma diferente de zero. Se a única solução para essa igualdade for \alpha=\beta=\gamma=0 (a combinação trivial), então os vetores são linearmente independentes.
Explicando cada símbolo:
\alpha,\beta,\gamma são números reais (os coeficientes da combinação).
\mathbf{0} é o vetor nulo (0,0,0).
A ideia prática: se um vetor puder ser escrito como combinação dos outros, então há dependência; caso contrário, são independentes.
Passo 3
Escrevendo a igualdade da combinação linear componente a componente. Seja
Se esse sistema tiver apenas a solução \alpha=\beta=\gamma=0, então os vetores são independentes.]
Passo 4
Uma forma eficiente de testar isso é montar a matriz cujas colunas são os vetores e calcular o determinante. Se a matriz 3×3 tiver determinante diferente de zero, suas colunas (os três vetores) são linearmente independentes; se o determinante for zero, são dependentes.
Construindo a matriz com as colunas \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}:
Interpretação do resultado: obtivemos \det(A)=3, que é diferente de zero. Isso significa que a matriz A tem posto máximo (posto 3) e, portanto, suas colunas — que são exatamente os vetores \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} — são linearmente independentes. Em termos da definição, o sistema homogeneo só tem a solução trivial \alpha=\beta=\gamma=0.