1. Determine se os vetores do conjunto S:\{(1,0,-1),(2,1,1),(3,1,0)\} são linearmente dependentes ou independentes.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se os vetores do conjunto S=\{(1,0,-1),(2,1,1),(3,1,0)\} são linearmente dependentes ou linearmente independentes.
Informações dadas:
  • v_{1}=(1,0,-1).
  • v_{2}=(2,1,1).
  • v_{3}=(3,1,0).
O que será respondido: determinar se existe ou não uma combinação linear não trivial
\alpha v_{1}+\beta v_{2}+\gamma v_{3}=0
com escalares \alpha,\beta,\gamma não todos iguais a zero. Se existir, os vetores são linearmente dependentes; se a única solução for \alpha=\beta=\gamma=0, são linearmente independentes.

Passo 2

Explicando rapidamente o conceito (para você ficar seguro na prova):
  • Definição prática: vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes se a única forma de somá‑los com coeficientes para obter o vetor nulo é usar todos os coeficientes iguais a zero. Em símbolos:
\alpha v_{1}+\beta v_{2}+\gamma v_{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha=\beta=\gamma=0.
  • Se existir alguma solução com pelo menos um coeficiente diferente de zero, dizemos que são linearmente dependentes. Essa solução dá uma relação de dependência entre os vetores (por exemplo, um vetor pode ser combinação linear dos outros).
Método que vou usar (muito direto para prova): montar a combinação
\alpha v_{1}+\beta v_{2}+\gamma v_{3}=0
e resolver o sistema linear nas componentes para ver se existe solução não trivial.

Passo 3

Escrevendo a combinação em componentes. Se
\alpha(1,0,-1)+\beta(2,1,1)+\gamma(3,1,0)=(0,0,0),
então as equações por componentes são:
\begin{cases} \alpha + 2\beta + 3\gamma = 0,\\[4pt] 0\alpha + \beta + \gamma = 0,\\[4pt] -\,\alpha + \beta + 0\gamma = 0. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema passo a passo, com explicação de cada movimento:
Da segunda equação temos
\beta+\gamma=0 \quad\Rightarrow\quad \beta=-\gamma.
Da terceira equação temos
-\,\alpha+\beta=0 \quad\Rightarrow\quad \beta=\alpha.
Combinando as duas expressões para \beta obtemos
\alpha=\beta=-\gamma \quad\Rightarrow\quad \gamma=-\alpha.
Agora substituímos numa das equações (por exemplo a primeira) para verificar consistência:
usar \beta=\alpha e \gamma=-\alpha em \alpha+2\beta+3\gamma=0:
\alpha + 2(\alpha) + 3(-\alpha) = \alpha + 2\alpha -3\alpha =0,
o que é verdadeiro para qualquer \alpha. Isso significa que existe uma família de soluções parametrizada por \alpha: escolher qualquer \alpha e definir \beta=\alpha,\\ \gamma=-\alpha dá uma solução.
Escolhendo a opção mais simples \alpha=1 (para obter uma relação explícita), obtemos
\alpha=1,\quad \beta=1,\quad \gamma=-1.
Portanto
1\cdot v_{1} + 1\cdot v_{2} + (-1)\cdot v_{3} = 0,
ou, escrito de forma mais direta,
v_{1}+v_{2}-v_{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad v_{3}=v_{1}+v_{2}.
Esse é um exemplo de solução não trivial (os coeficientes não são todos zero), logo os vetores são linearmente dependentes. Observação intuitiva: dá para verificar somando v_{1} e v_{2}:
v_{1}+v_{2}=(1+2,\,0+1,\,-1+1)=(3,1,0)=v_{3},
o que confirma a dependência.

Passo 5

Conclusão prática para a prova: como existe relação linear não trivial ( v_{3}=v_{1}+v_{2}), os vetores do conjunto S são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes.

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