Verifique a dependência linear dos vetores \mathbf{u}=(1,-2,3), \mathbf{v}=(2,-4,6) e \mathbf{w}=(1,0,1).
Passo 1
O enunciado pede para verificar a dependência linear dos vetores dados. As informações fornecidas são:
\mathbf{u}=(1,-2,3).
\mathbf{v}=(2,-4,6).
\mathbf{w}=(1,0,1).
O que precisamos responder é: existe uma combinação linear
a\mathbf{u}+b\mathbf{v}+c\mathbf{w}=\mathbf{0}
com coeficientes a,b,c nem todos iguais a zero? Se sim, os vetores são linearmente dependentes; se a única solução for a=b=c=0, são linearmente independentes.
Passo 2
Vou explicar a ideia de forma bem simples e concreta. “Linearmente dependentes” significa que pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros — ou, equivalentemente, que existem a,b,c, nem todos zero, tais que
a\mathbf{u}+b\mathbf{v}+c\mathbf{w}=\mathbf{0},
onde \mathbf{0}=(0,0,0) é o vetor nulo. Na prova é comum tentar achar explicitamente esses coeficientes; se achar, pronto — dependência.
Passo 3
Observação rápida e útil (truque de prova): compare \mathbf{v} com 2\mathbf{u}.
Calculemos
2\mathbf{u}=2(1,-2,3)=(2,-4,6).
Isso é exatamente \mathbf{v}. Logo
\mathbf{v}=2\mathbf{u}.
Isso já é suficiente: se um vetor é múltiplo escalar de outro, os vetores são linearmente dependentes (pois \mathbf{v}-2\mathbf{u}=\mathbf{0} fornece uma combinação não trivial que dá o zero).
Passo 4
Para ser completo e didático, vamos montar o sistema da combinação linear geral e resolver passo a passo, como fariam numa prova:
Queremos a,b,c\) tais que
\[a\mathbf{u}+b\mathbf{v}+c\mathbf{w}=\mathbf{0}.
Da segunda equação: -2a-4b=0\] implica, dividindo por \(-2, a+2b=0, logo a=-2b.
Substituindo a=-2b na primeira equação: (-2b)+2b+c=0 → c=0.
A terceira equação fica 3(-2b)+6b+0= -6b+6b=0, que é satisfeita automaticamente.
Portanto as soluções são da forma
(a,b,c)=(-2b,b,0),
com b livre. Tomando, por exemplo, b=1 obtemos a=-2, c=0, ou seja
-2\mathbf{u}+1\mathbf{v}+0\mathbf{w}=\mathbf{0},
ou reescrevendo,
\mathbf{v}-2\mathbf{u}=\mathbf{0}.
Isso confirma a dependência linear encontrada no passo anterior.]
Passo 5
Uma observação adicional útil para a prova: embora \mathbf{v}\) dependa de \(\mathbf{u}\), os vetores \(\mathbf{u}\) e \(\mathbf{w}\) são linearmente independentes. Para ver isso, resolva \(\alpha\mathbf{u}+\gamma\mathbf{w}=\mathbf{0}\). Pelas componentes:
\[\begin{cases} \alpha+\gamma=0,\\[4pt] -2\alpha+0\cdot\gamma=0,\\[4pt] 3\alpha+\gamma=0. \end{cases}
Da segunda equação vem \alpha=0\]; então \(\gamma=0. Logo apenas a solução trivial existe, provando independência de \{\mathbf{u},\mathbf{w}\}. Assim a dimensão do espaço gerado por \{\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\} é 2.]
Resposta
Os vetores são linearmente dependentes. Uma relação de dependência é \mathbf{v}-2\mathbf{u}=\mathbf{0}.