Determine se os vetores \mathbf{x}=(1,0,-1), \mathbf{y}=(2,1,3) e \mathbf{z}=(3,2,5) formam um conjunto linearmente independente.

Passo 1

O enunciado dá três vetores no espaço \mathbb{R}^3:
\mathbf{x}=(1,0,-1), \mathbf{y}=(2,1,3) e \mathbf{z}=(3,2,5).
A pergunta é clara: determinar se esses vetores formam um conjunto linearmente independente (ou seja, se nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros).
Informações relevantes fornecidas:
  • Os três vetores explícitos \mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}.
  • Quer-se saber se eles são linearmente independentes (sim/não).

Passo 2

O que significa “linearmente independente”?
Definição: os vetores \mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z} são linearmente independentes se a única solução do sistema
\alpha\,\mathbf{x}+\beta\,\mathbf{y}+\gamma\,\mathbf{z}=\mathbf{0}
for \alpha=\beta=\gamma=0.
Em outras palavras, não existe combinação não trivial (com algum coeficiente diferente de zero) que produza o vetor nulo.

Passo 3

Escolha do método (como fazer na prova):
Para três vetores em \mathbb{R}^3 uma maneira rápida é formar a matriz que tem esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, as colunas (os vetores) são linearmente independentes; se o determinante for zero, são linearmente dependentes.
Isso vem do fato conhecido em álgebra linear: colunas de uma matriz 3\times3 são linearmente independentes \iff a matriz é invertível \iff seu determinante é não nulo.

Passo 4

Formar a matriz A cujas colunas são \mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 2\\[4pt] -1 & 3 & 5 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular o determinante de A expandindo pela primeira linha (método padrão):
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]3 & 5\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt]-1 & 5\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcular cada menor:
\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]3 & 5\end{pmatrix}=1\cdot5-2\cdot3=5-6=-1,
\det\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt]-1 & 5\end{pmatrix}=0\cdot5-2\cdot(-1)=0+2=2,
\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix}=0\cdot3-1\cdot(-1)=0+1=1.]

Passo 7

Substituindo os valores na expressão do determinante:
\det(A)=1\cdot(-1)-2\cdot(2)+3\cdot(1)=-1-4+3=-2.
Como \det(A)=-2\neq0, a matriz A é invertível.

Passo 8

Interpretação do resultado (como usar na prova):
Quando a matriz formada pelas colunas é invertível, a única solução da equação
\alpha\,\mathbf{x}+\beta\,\mathbf{y}+\gamma\,\mathbf{z}=\mathbf{0}
é \alpha=\beta=\gamma=0. Portanto os vetores não são combinação linear uns dos outros — são linearmente independentes. Na prova, basta formar a matriz, calcular o determinante e verificar se é diferente de zero.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes.

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