Determine se os vetores \mathbf{x}=(1,0,-1), \mathbf{y}=(2,1,3) e \mathbf{z}=(3,2,5) formam um conjunto linearmente independente.
Passo 1
O enunciado dá três vetores no espaço \mathbb{R}^3: \mathbf{x}=(1,0,-1), \mathbf{y}=(2,1,3) e \mathbf{z}=(3,2,5).
A pergunta é clara: determinar se esses vetores formam um conjunto linearmente independente (ou seja, se nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros).
Informações relevantes fornecidas:
Os três vetores explícitos \mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}.
Quer-se saber se eles são linearmente independentes (sim/não).
Passo 2
O que significa “linearmente independente”?
Definição: os vetores \mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z} são linearmente independentes se a única solução do sistema
for \alpha=\beta=\gamma=0.
Em outras palavras, não existe combinação não trivial (com algum coeficiente diferente de zero) que produza o vetor nulo.
Passo 3
Escolha do método (como fazer na prova):
Para três vetores em \mathbb{R}^3 uma maneira rápida é formar a matriz que tem esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, as colunas (os vetores) são linearmente independentes; se o determinante for zero, são linearmente dependentes.
Isso vem do fato conhecido em álgebra linear: colunas de uma matriz 3\times3 são linearmente independentes \iff a matriz é invertível \iff seu determinante é não nulo.
Passo 4
Formar a matriz A cujas colunas são \mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}:
é \alpha=\beta=\gamma=0. Portanto os vetores não são combinação linear uns dos outros — são linearmente independentes. Na prova, basta formar a matriz, calcular o determinante e verificar se é diferente de zero.