Decida se os vetores a seguir são LI ou LD.
u=(1,0), v=(2,2), w=(3,1);

Passo 1

O enunciado pede para decidirmos se os vetores
u=(1,0), v=(2,2) e w=(3,1) em R^2 são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Vamos usar a definição de combinação linear e também o fato de que, num espaço de dimensão 2, não podem existir mais de 2 vetores LI.

Passo 2

Em R^2 a dimensão é 2, logo qualquer conjunto com mais de 2 vetores é automaticamente linearmente dependente. Como temos 3 vetores em R^2, já podemos concluir de antemão que eles são LD. Para reforçar, veremos a combinação linear nula com coeficientes não triviais.

Passo 3

Considere
alpha,u + beta,v + gamma,w = (0,0)
Isto é,
alpha,(1,0) + beta,(2,2) + gamma,(3,1) = (0,0)
Extraindo as componentes, obtemos o sistema
alpha + 2beta + 3gamma = 0, 2beta + gamma = 0
Da segunda equação segue gamma = -2beta. Substituindo na primeira:
alpha + 2beta + 3(-2beta) = alpha -4beta = 0 Longrightarrow alpha = 4beta
Tomando, por exemplo, beta=1, obtemos alpha=4, gamma=-2, que não são todos zero. Logo existe solução não trivial.

Passo 4

Como encontramos uma combinação linear não trivial que leva ao vetor zero, por definição o conjunto u,v,w é linearmente dependente.

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes.

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