Show that the polar curve
(called a conchoid) has the line
as a vertical asymptote by showing that
. Use this fact to help sketch the conchoid.
Passo 1
O enunciado dá a curva polar
e pede para mostrar que a reta
é assíntota vertical, verificando que, quando
, temos
. Vamos usar a conversão para coordenadas cartesianas e estudar o limite quando
(isto é,
).
Passo 2
Em coordenadas cartesianas,
Substituindo
obtemos
Passo 3
A curva explode (
) exatamente quando
, ou seja quando
. Tomando por exemplo
:
De modo análogo, para
também vem
. Logo, à medida que
,
, mostrando que
é assíntota vertical.
Passo 4
Para esboçar a conchoide note que
, então
.
No ramo principal, , temos
. Em
,
No ramo principal,
que dá o ponto
. Conforme
,
e
: esse ramo fica no semiplano
e aproxima-se verticalmente de
.
No ramo secundário, , temos
, o que reflete os pontos pela origem, formando uma segunda “folha” que também se estende e se aproxima da reta
. Assim a curva tem duas “folhas” simétricas em relação ao eixo
e a linha
como assíntota vertical.
No ramo secundário,
Resposta
A curva
tem a reta
como assíntota vertical.