Show that the polar curve r=4+2 sec theta (called a conchoid) has the line x=2 as a vertical asymptote by showing that lim r pm infty x=2. Use this fact to help sketch the conchoid.

Passo 1

O enunciado dá a curva polar
r = 4 + 2sectheta
e pede para mostrar que a reta x=2 é assíntota vertical, verificando que, quando rtopminfty, temos xto2. Vamos usar a conversão para coordenadas cartesianas e estudar o limite quando secthetatopminfty (isto é, costhetato0).

Passo 2

Em coordenadas cartesianas,
x = rcostheta
Substituindo r = 4 + 2sectheta obtemos
x = (4 + 2sectheta)costheta = 4costheta + 2

Passo 3

A curva explode ( rtopminfty) exatamente quando secthetatopminfty, ou seja quando costhetato0. Tomando por exemplo thetatopi/2:
limthetatopi/2x = limthetatopi/2l(4costheta + 2r) = 4cdot0 + 2 = 2
De modo análogo, para thetato-pi/2 também vem lim x=2. Logo, à medida que rtopminfty, xto2, mostrando que x=2 é assíntota vertical.

Passo 4

Para esboçar a conchoide note que costhetaneq0, então thetaneq(2k+1)pi/2.
No ramo principal, thetain(-pi/2,pi/2), temos r>0. Em theta=0,
r(0)=4+2sec0=6,
que dá o ponto (6,0). Conforme thetatopmpi/2, rto+infty e xto2: esse ramo fica no semiplano x>2 e aproxima-se verticalmente de x=2.
No ramo secundário, thetain(pi/2,3pi/2), temos r<0, o que reflete os pontos pela origem, formando uma segunda “folha” que também se estende e se aproxima da reta x=2. Assim a curva tem duas “folhas” simétricas em relação ao eixo x e a linha x=2 como assíntota vertical.

Resposta

A curva r=4+2sectheta tem a reta x=2 como assíntota vertical.

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