Decide se a aplicação seguinte é linear ou não.
F: R^2 R^2 definida por F(x, y)=(x y, y).

Passo 1

O enunciado nos dá a aplicação
Fcolon R^2 to R^2, F(x,y) = (x,y,;y)
Queremos decidir se F é linear, ou seja, se satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade da teoria de transformações lineares em espaços vetoriais.

Passo 2

Lembrando a definição: F é linear se, para quaisquer vetores u,vinR^2 e escalar lambdainR, tivermos
F(u+v) ;=; F(u) + F(v) e F(lambda,u) ;=; lambda,F(u)

Passo 3

Vamos testar a homogeneidade. Seja (x,y)inR^2 e lambdainR. Então
Fl(lambda(x,y)r) = F(lambda x,;lambda y) = l((lambda x)(lambda y),;lambda yr) = l(lambda^2,x,y,;lambda,yr)
Por outro lado,
lambda,F(x,y) = lambda,(x,y,;y) = (lambda,x,y,;lambda,y)
Como em geral
lambda^2,x,y neq lambda,x,y para lambdaneq0,1, concluímos que
Fl(lambda(x,y)r) neq lambda,F(x,y)

Passo 4

Como a propriedade de homogeneidade falha, F não pode ser linear. Não precisamos testar a aditividade, pois basta violar uma das duas condições para descartar a linearidade.

Resposta

A aplicação F não é linear.

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