Decide se a aplicação seguinte é linear ou não.
definida por
.
Passo 1
O enunciado nos dá a aplicação
Queremos decidir se
é linear, ou seja, se satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade da teoria de transformações lineares em espaços vetoriais.
Passo 2
Lembrando a definição:
é linear se, para quaisquer vetores
e escalar
, tivermos
Passo 3
Vamos testar a homogeneidade. Seja
e
. Então
Por outro lado,
Como em geral
para
, concluímos que
Passo 4
Como a propriedade de homogeneidade falha,
não pode ser linear. Não precisamos testar a aditividade, pois basta violar uma das duas condições para descartar a linearidade.
Resposta
A aplicação
não é linear.