Questão 4: (24 pontos) Resolva os ítens:
(c) (8 pontos) Encontre uma base e a dimensão para o subconjunto de M2(R) dado por
W=(cc a & b c & d ) ; d-b+c=0 e a=0

Passo 1

O enunciado pede para achar uma base e a dimensão do subespaço
W = a & b c & din M2(R) mid d - b + c = 0 e a = 0
O conteúdo aqui é reconhecer que essas condições são equações lineares em a,b,c,d e usar parametrização para encontrar uma base de W.

Passo 2

Da segunda condição temos imediatamente
a = 0
Da primeira condição isolamos d:
d - b + c = 0 Longrightarrow d = b - c

Passo 3

Assim, um elemento genérico de W é
0 & b c & d = 0 & b c & b-c
com b,cinR. Podemos então escrever
0 & b c & b-c = b0 & 1 0 & 1 + c0 & 0 1 & -1

Passo 4

Os dois matrizes
E1 = 0 & 1 0 & 1, E2 = 0 & 0 1 & -1
são linearmente independentes e geram W, pois qualquer l(b,cr) produz um único elemento de W. Logo essas matrizes formam uma base de W.

Passo 5

Como temos exatamente dois parâmetros ( b e c), a dimensão de W é 2.

Resposta

Uma base de W é
0 & 1 0 & 1, 0 & 0 1 & -1,
e dim(W)=2.

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